Testando os quadrados por somas de ímpares de Pitágoras e otimização

Eu vi a seguinte publicação no Facebook e pensei em testar computacionalmente até um limite grande. Para quem não quer, ou não tem como, acessar o Facebook, reproduzo a imagem abaixo:

Quando escrevia o programa notei que estava fazendo errado, que o código iria gastar tempo demais inutilmente, então reescrevi o código resolvendo isto.

A primeira versão do programa foi:

#include        <stdio.h>

int     main()
{
        register unsigned long long numero, impar, soma ;

        for( numero = 1 ; numero <= 1000000000 ; numero++ )
        {
                register int    i ;

                for( i = numero, impar = 1, soma = 0 ; i ; i--, impar +=2 )
                        soma += impar ;

                if( soma != numero*numero )
                        printf( "Falhou para o numero %llu\n",numero );
        }
}

Esta é a descrição literal do problema, mas nem sempre a descrição literal é a melhor a ser implementada. O que está errado neste programa?